Simbolul Levi-Civita si produsul vectorial generalizat

Kronecker delta

Acesta se foloseste in fizica si matematica.                                         

\( \delta \)_{i j} = 1(daca i=j) sau 0(daca i\( \neq \)j)

Acesta este folosit pentru a reprezenta o matrice cu elementele de pe diagonala 1 si restu 0.

Simbolul Levi-Civita

Acesta este esential pentru a putea calcula produsul vectorial generalizat. Acest simbol se noteaza cu \( \epsilon \)(epsilon).

\( \epsilon \)_{i j k} = 1 (daca i, j, k \( \in \) ((1,2,3), (2,3,1), (3,1,2))) sau -1 (daca i, j, k \( \in \) ((3,2,1), (2,1,3), (1,3,2))) sau 0 (daca i=j sau j=k sau i=k)

Relatia care leaga simbolul lui Levi-Civita de \( \delta \) este:

\( \epsilon \)_{i j k} \( \cdot \) \( \epsilon \)_{l m n} = \( \left| \begin{matrix} \delta_il & \delta_im & \delta_in \\ \delta_jl & \delta_jm & \delta_jn \\ \delta_kl & \delta_km & \delta_kn\end{matrix} \right| \)

Conventia lui Einstein privind suma

Daca vrem de exemplu sa facem: \( \sum{3,i=1} \delta_ii ) Putem sa scriem direct \delta_ii adica:

\( \sum{3,i=1} \delta_ii ) \( \equiv \) \delta_ii

O alta conventie este:

\( \epsilon \)_{i j k} \( \cdot \) \( \epsilon \)_{i j k} = \( \epsilon \)_{1 2 3}  \( \cdot \) \( \epsilon \)_{1 2 3} +...

Folosim asta pentru ca din cele 27 de combinatii de i, j si k, 21 sunt 0 deci doar cele 6 sunt importante in acest caz.

Acum haideti sa vedem la ce ne ajuta toate astea.

Produsul scalar putem sa il scriem:

A\( \cdot \)B = A_iB_i

Produsul vectorial putem sa il scriem ca:

(A\( \epsilon \)B)i =  \( \epsilon \)_{i j k} \( \cdot \) A_j \( \cdot \) B_k

Pentru ca produsul vectorial dintre A si B este un vector, noi trebuie sa ne uitam doar la un element i din acest vector si o sa spunem cu cat este egal acesta. Asa putem sa calculam termenul general din vectorul format cu ajutorul produsului vectorial.