Sisteme de ecuatii liniare

Haideti sa vedem un exemplu de sistem de ecuatii liniare pentru a intelege mai bine despre ce o sa vorbim in acest curs.
Exemplu:
O companie produce produsele N₁, N₂, ..., N_n pentru care ne trebuie resursele R₁, R₂, ..., R_m. Pentru a produce o unitate N_j avem nevoie de a_{i j} unitati de resurse a_i unde i= 1, 2, ..., m si j= 1, 2, ... n.
Obiectivul este sa gasim un plan de producere optim. Acest plan o sa ne spuna cate unitati x_j de produse N_j ar trebui sa fie facute daca avem disponibile b_i de unitati de resurse R_i.
Daca producem x₁, ..., x_n de unitati de produse avem nevoie de un total de: a_i1x₁ + ... + a_inx_n resurse de R_i.
Un plan optim trebuie sa satisfaca urmatorul sistem de ecuatii:
a₁₁x₁ + ... + a_1nx_n = b₁
.
.
.
a_m1x₁ + · · · + a_mnx_n = b_m 

Aceasta este forma generala a unui sistem de linear ecuatii si x₁, ..., x_n sunt necunoscutele sistemului.

Haideti sa mai vedem cateva exemple de sisteme.
Acest sistem de ecuatii
x₁ + x₂ + x₃ = 3 (1)
x₁ − x₂ + 2x₃ = 2 (2)
2x₁ + 3x₃ = 1 (3)
nu are solutii. Daca adunam primele doua ecuatii o sa ne dea ca 2x₁ + 3x₃ = 5 ceea ce contrazice relatia cu numarul 3.

Haideti sa mai vedem un alt sistem.
x₁ + x₂ + x₃ = 3 (1)
x₁ − x₂ + 2x₃ = 2 (2)
x₂ + x₃ = 2 (3)
Din prima si a treia rezulta ca x₁=1. Daca facem (1) + (2) ⇒ 2x₁ + 3x₃ = 5 ⇒ x₃=1. DIn (3) ⇒ x₂ = 1. Singura solutie este (1, 1, 1).

Ca un al treilea exemplu, luam sistemul
x₁ + x₂ + x₃ = 3 (1)
x₁ − x₂ + 2x₃ = 2 (2)
2x₁ + 3x₃ = 5 (3)
Pentru ca (1) + (2) = (3), putem sa excludem ecuatia (3). Din (1) si (2) o sa avem ca 2x₁ = 5-3x₃ si ca 2x₂ = 1+x₃. Definim x₃ = a ∈ R ca o variabila libera. O sa avem solutiile (\( \frac{5}{2} - \frac{3}{2}a \), \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}a \), a). Acest set contine o infinitate de solutii.

Interpretarea geometrica a sistemelor de ecuatii liniare

Intr-un sistem de ecuatii liniare cu doua variabile x₁, x₂, fiecare ecuatie liniara defineste o dreapta in planul x₁x₂. Deoarece o solutie a unui sistem de ecuatii liniare trebuie sa satisfaca toate ecuatiile simultan, multimea solutiilor este intersectia acestor drepte. Aceasta multime de intersectie poate fi o linie (daca ecuatiile liniare descriu aceeasi dreapta), un punct sau vida (cand dreptele sunt paralele).
4x₁ + 4x₂ = 5
2x₁ − 4x₂ = 1
Asta putem sa vedem si in figura:

Unde spatiul solutiilor este punctul (x₁, x₂) = (1, \( \frac{1}{4} \)). In mod similar, pentru trei variabile, fiecare ecuatie liniara determina un plan in spatiul tridimensional. Cand intersectam aceste plane, adica satisfacem toate ecuatiile liniare in acelasi timp, putem obtine o multime de solutii care este un plan, o linie, un punct sau vida (cand planele nu au o intersectie comuna).

Pentru o abordare sistematica in rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare, vom introduce o notatie compacta utila. Colectam coeficientii a_ij in vectori si colectam vectorii in matrici. Cu alte cuvinte, scriem sistemul general in urmatoarea forma:

$$ \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} x_1 + \begin{bmatrix} a_{12} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} x_2 + \cdots + \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} x_n = \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} $$

$$ \iff \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} $$