Adunarea si inmultirea matricilor + definitie

Matricile joaca un rol central in algebra liniara. Ele pot fi folosite pentru a reprezenta compact sisteme de ecuatii liniare, dar ele reprezinta, de asemenea, functii liniare (aplicatii liniare), asa cum vom vedea mai tarziu. Inainte de a discuta unele dintre aceste subiecte interesante, sa definim mai intai ce este o matrice si ce fel de operatii putem face cu matricile.

Definitie: Cu m, n ∈ N, o matrice reala de tipul (m, n) este un m*n -tuplu de elemente a_ij, unde i = 1, ..., m si j = 1, ..., n, care este ordonat conform unei scheme dreptunghiulare constand din m randuri si n coloane:

$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} , \quad a_{ij} \in \mathbb{R}. $$

Prin conventie, matricile de tip (1, n) se numesc randuri (rows) iar matricile de tip (m, 1) se numesc coloane (columns). Aceste matrici speciale se mai numesc si vectori rand/coloana (row/column vectors).

R^mxn este multimea tuturor matricilor reale de tip (m, n). O matrice A ∈ R^mxn poate fi reprezentata in mod echivalent ca a ∈ R^mn prin stivuirea tuturor celor n coloane ale matricii intr-un vector lung. Ca in figura:

Adunarea matricilor

Suma a doua matrici A ∈ R^mxn, B ∈ R^mxn este definita ca suma element cu element, adica:

$$ \mathbf{A} + \mathbf{B} := \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}. $$

Inmultirea matricilor

Pentru matricile A ∈ R^mxn si B ∈ R^nxk, elementele c_ij ale produsului C = AB ∈ R^mxk sunt calculate ca:

$$ c_{ij} = \sum_{l=1}^{n} a_{il}b_{lj}, \quad i = 1, \dots, m, \quad j = 1, \dots, k. $$

Aceasta inseamna ca, pentru a calcula elementul c_ij, inmultim elementele randului i din A cu cele ale coloanei j din B si le insumam. Mai tarziu vom numi acest lucru produs scalar (dot product) al randului si coloanei corespunzatoare. In cazurile in care trebuie sa fim explicit ca efectuam inmultirea, folosim notatia A ⋅ B pentru a nota inmultirea (aratand explicit "⋅").

Remarca. Matricile pot fi inmultite doar daca dimensiunile lor "invecinate" se potrivesc. De exemplu, o
matrice A de tip n x k poate fi inmultita cu o matrice B de tip k x m, dar numai din partea stanga:
$$ \underbrace{\mathbf{A}}_{n \times k} \ \underbrace{\mathbf{B}}_{k \times m} = \underbrace{\mathbf{C}}_{n \times m} $$

Produsul $\mathbf{B}\mathbf{A}$ nu este definit daca $m \ne n$ deoarece dimensiunile invecinate nu se potrivesc.

Remarca. Inmultirea matricilor nu este definita ca o operatie element cu element pe elementele matricii, adica c_ij ≠ a_ijb_ij (chiar daca dimensiunea lui A, B ar fi aleasa corespunzator). Acest tip de inmultire element cu element apare adesea in limbajele de programare cand inmultim tablouri (multi-dimensionale) intre ele si se numeste produs Hadamard (Hadamard product).

Exemplu:

$$ \text{Pentru } \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 3}, \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 2}, \text{ avem} $$

$$ \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, $$

$$ \mathbf{BA} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}. $$

Din acest exemplu putem vedea ca inmultirea nu este comutativa AB ≠ BA. Asta putem vedea si in figura: