Matricea identitate + inversa si transpusa unei matrici

Definitie matricea identitate: In R^nxn definim matricea identitate ca matricea n x n care are 1 pe diagonala si 0 in toate celelalte locuri.

$$ \mathbf{I}_n := \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n} $$

Acum ca am definit inmultirea de matrici, adunarea matricilor si matricea identitate, haideti sa ne uit la niste proprietati ale matricilor.

Asociativitatea:

$$ \forall \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times p}, \mathbf{C} \in \mathbb{R}^{p \times q} : (\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}) $$

Distributivitatea:

$$ \forall \mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{C}, \mathbf{D} \in \mathbb{R}^{n \times p} : \begin{cases} (\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{A}\mathbf{C} + \mathbf{B}\mathbf{C} \\ \mathbf{A}(\mathbf{C} + \mathbf{D}) = \mathbf{A}\mathbf{C} + \mathbf{A}\mathbf{D} \end{cases} $$

Inmultirea cu matricea identitate:

$$ \forall \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} : \mathbf{I}_m \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{I}_n = \mathbf{A} $$

I_m ≠ I_n pentru m ≠ n

Inversa si transpusa.

Definitie pentru inversa unei matrici:
Considera o matrice patrata A ∈ R^nxn. Fie matricea B ∈ R^nxn care are proprietatea ca AB = I_n = BA. B se numeste inversa lui A si se noteaza cu A^-1.

Din pacate, nu orice matrice A poseda o inversa A^-1. Daca aceasta inversa exista, A se numeste regulata/inversabila/nesingulara, altfel este singulara/neinversabila. Cand inversa matricei exista, ea este unica.

Existenta inversei a unei matrici 2x2. Sa luam matricea:
$$ \mathbf{A} := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}. $$

Daca inmultim A cu:
$$ \mathbf{A}' := \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} $$

Obtinem:

$$ \mathbf{A} \mathbf{A}' = \begin{bmatrix} a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} & 0 \\ 0 & a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \end{bmatrix} = (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})\mathbf{I}. $$

Asta inseamna ca:

$$ \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} $$

daca si numai daca a₁₁a₂₂  - a₁₂a₂₁ ≠ 0

Exemplu:
Matricele:
$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 7 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} -7 & -7 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & 5 & -4 \end{bmatrix} $$
sunt inverse pentru ca AB = I = BA

Definitia transpusei

Pentru A ∈ R^mxn, matricea B ∈ R^nxm cu b_ij = a_ji se numeste transpusa lui A. Scriem B = A^T.

In general, A^T poate fi obtinuta scriind coloanele lui A ca randuri ale lui A^T. Urmatoarele sunt proprietati importante ale inverselor si transpuselor:

$$ \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} $$ $$ (\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1} $$ $$ (\mathbf{A} + \mathbf{B})^{-1} \neq \mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} $$ $$ (\mathbf{A}^{\top})^{\top} = \mathbf{A} $$ $$ (\mathbf{A}\mathbf{B})^{\top} = \mathbf{B}^{\top}\mathbf{A}^{\top} $$ $$ (\mathbf{A} + \mathbf{B})^{\top} = \mathbf{A}^{\top} + \mathbf{B}^{\top} $$

Simetrica unei matrici: O matrice A ∈ R^nxn este simetrica daca A = A^T 

Retineti ca doar (n,n)-matricele pot fi simetrice. In general, numim (n,n)-matricele si matrice patrate deoarece ele poseda acelasi numar de randuri si coloane. Mai mult, daca A este inversabila, atunci si A^T este, iar (A^-1)^T = (A^T)^-1 := A^-T.

Remarca (Suma si Produsul Matricelelor Simetrice). Suma matricelor simetrice A, B ∈ R^nxn este intotdeauna simetrica. Totusi, desi produsul lor este intotdeauna definit, in general nu este simetric:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$