Inmultirea cu un scalar si reprezentarea sistemelor lineare
Inmultirea cu un scalar
Sa vedem ce se intampla cu matricele atunci cand sunt multiplicate cu un scalar λ ∈ R. Fie A ∈ Rmxn si λ ∈ R. Atunci λA = K, unde Kij = λaij. Practic, λ scaleaza fiecare element al lui A. Pentru λ, ψ ∈ R, are loc urmatoarele proprietati:
Asociativitatea:
$$ (\lambda \psi)\mathbf{C} = \lambda(\psi \mathbf{C}), \quad \mathbf{C} \in \mathbb{R}^{m \times n} $$
$$ \lambda(\mathbf{B}\mathbf{C}) = (\lambda \mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{B}(\lambda \mathbf{C}) = (\mathbf{B}\mathbf{C})\lambda, \quad \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{C} \in \mathbb{R}^{n \times k}. $$
$$ (\lambda \mathbf{C})^{\top} = \mathbf{C}^{\top} \lambda^{\top} = \mathbf{C}^{\top} \lambda = \lambda \mathbf{C}^{\top} \text{ pentru ca } \lambda = \lambda^{\top} \text{ pentru toate } \lambda \in \mathbb{R}. $$
Distributivitatea:
$$ (\lambda + \psi)\mathbf{C} = \lambda \mathbf{C} + \psi \mathbf{C}, \quad \mathbf{C} \in \mathbb{R}^{m \times n} $$
$$ \lambda(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \lambda \mathbf{B} + \lambda \mathbf{C}, \quad \mathbf{B}, \mathbf{C} \in \mathbb{R}^{m \times n} $$
Exemplu:
Daca definim:
$$ \mathbf{C} := \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, $$
Atunci pentru orice λ, ψ ∈ R atunci obtinem:
$$ (\lambda + \psi)\mathbf{C} = \begin{bmatrix} (\lambda + \psi)1 & (\lambda + \psi)2 \\ (\lambda + \psi)3 & (\lambda + \psi)4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda + \psi & 2\lambda + 2\psi \\ 3\lambda + 3\psi & 4\lambda + 4\psi \end{bmatrix} $$ $$ = \begin{bmatrix} \lambda & 2\lambda \\ 3\lambda & 4\lambda \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \psi & 2\psi \\ 3\psi & 4\psi \end{bmatrix} = \lambda\mathbf{C} + \psi\mathbf{C}. $$
Reprezentarea compacta a sistemelor de ecuatii liniare
Daca consideram sistemul de ecuatii liniare:
2x1 + 3x2 + 5x3 = 1
4x1 - 2x2 - 7x3 = 8
9x1 + 5x2 - 3x3 = 2
si folosim regula de inmultire a matricilor, putem sa scriem sistemul intr un mod mai compact:
$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & -2 & -7 \\ 9 & 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 2 \end{bmatrix}. $$
Retineti ca x1 scaleaza prima coloana, x2 pe a doua, iar x3 pe a treia. In general, un sistem de ecuatii liniare poate fi reprezentat compact in forma sa matriciala ca Ax = b.