Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare

Ne reamintim ca forma generala a unui sistem de ecuatii este:

a₁₁x₁ + ... + a_1nx_n = b₁
                                .
                                .
                                .
a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_n 

unde a_ij ∈ R si b_i ∈ R sunt constante cunoscute, iar x_j sunt necunoscute, i = 1, ... , m, j = 1, ... , n. Pana acum, am vazut ca matricele pot fi folosite ca o modalitate compacta de a formula sisteme de ecuatii liniare astfel incat putem scrie Ax = b. Mai mult, am definit operatii matriciale de baza, cum ar fi adunarea si inmultirea matricelor. In cele ce urmeaza, ne vom concentra pe rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare.

Solutia generala si cea particulara

Inainte sa discutam despre cum sa rezolvam in general sistemele de ecuatii liniare, haide sa ne luam un exemplu. Presupunem urmatorul sistem de ecuatii liniare:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 42 \\ 8 \end{bmatrix}. $$

Sistemul are doua ecuatii si patru necunoscute. Prin urmare, in general ne-am astepta la infinit de multe solutii. Acest sistem de ecuatii este intr-o forma deosebit de usoara, unde primele doua coloane constau dintr-un 1 si un 0. Retineti ca dorim sa gasim scalari x₁, ... , x₄, astfel incat suma de la i=1 la 4 din x_ic_i = b, unde definim c_i ca fiind a i-a coloana a matricei si b ca fiind membrul drept. O solutie la problema poate fi gasita imediat luand de 42 de ori prima coloana si de 8 ori a doua coloana astfel incat
$$ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 42 \\ 8 \end{bmatrix} = 42 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 8 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}. $$

Prin urmare, o solutie este [42, 8, 0, 0]^T. Aceasta solutie se numeste solutie particulara sau solutie speciala. Totusi, aceasta nu este singura solutie a acestui sistem de ecuatii liniare. Pentru a include toate celelalte solutii, trebuie sa fim creativi in generarea lui 0 intr-un mod non-trivial folosind coloanele matricei: Adaugarea lui 0 la solutia noastra speciala nu schimba solutia speciala. Pentru a face acest lucru, exprimam a treia coloana folosind primele doua coloane (care sunt de aceasta forma foarte simpla)

$$ \begin{bmatrix} 8 \\ 2 \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

astfel incat 0 = 8c₁ + 2c₂ - 1c₃ + 0c₄ si (x₁, x₂, x₃, x₄) = (8, 2, -1, 0). De fapt, orice scalare a acestei solutii cu λ ∈ R produce vectorul 0, adica,

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 12 \end{bmatrix} \left( \lambda_1 \begin{bmatrix} 8 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \lambda_1 (8\mathbf{c}_1 + 2\mathbf{c}_2 - \mathbf{c}_3) = \mathbf{0} $$

Urmand acelasi tip de rationament, exprimam a patra coloana a matricei folosind primele doua coloane si generam un alt set de versiuni non-triviale ale lui 0 ca

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 12 \end{bmatrix} \left( \lambda_2 \begin{bmatrix} -4 \\ 12 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \right) = \lambda_2 (-4\mathbf{c}_1 + 12\mathbf{c}_2 - \mathbf{c}_4) = \mathbf{0} $$

pentru orice λ₂ ∈ R. Punand totul impreuna, obtinem toate solutiile sistemului de ecuatii, care se numeste solutia generala, ca fiind multimea

$$ \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^4 : \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 42 \\ 8 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \lambda_1 \begin{bmatrix} 8 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} -4 \\ 12 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} , \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \right\} $$

Observatie: Abordarea generala pe care am urmat-o a constat in urmatorii trei pasi:

1. Gasiti o solutie particulara pentru Ax = b.

2. Gasiti toate solutiile pentru Ax = 0.

3. Combinati solutiile de la pasii 1 si 2 pentru a obtine solutia generala.

**Nici solutia generala, nici cea particulara nu sunt unice.**

Sistemul de ecuatii liniare din exemplul precedent a fost usor de rezolvat deoarece matricea are aceasta forma deosebit de convenabila, care ne-a permis sa gasim solutia particulara si pe cea generala prin inspectie. Cu toate acestea, sistemele de ecuatii generale nu au aceasta forma simpla. Din fericire, exista o modalitate algoritmica constructiva de transformare a oricarui sistem de ecuatii liniare in aceasta forma deosebit de simpla: eliminarea Gaussiana. Cheia eliminarii Gaussiene sunt transformarile elementare ale sistemelor de ecuatii liniare, care transforma sistemul de ecuatii intr-o forma simpla. Apoi, putem aplica cei trei pasi formei simple pe care tocmai i-am discutat in contextul acestui exemplului.